LeetCode_Day3

[338] 比特位计数

https://leetcode-cn.com/problems/counting-bits/description/

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• Testcase Example: ‘2’
• Source Code: 338.counting-bits.cpp

给定一个非负整数 num。对于 0 ≤ i ≤ num 范围中的每个数字 i ，计算其二进制数中的 1 的数目并将它们作为数组返回。

示例 1:

输入: 2
输出: [0,1,1]

示例 2:

输入: 5
输出: [0,1,1,2,1,2]

进阶:

• 给出时间复杂度为O(n*sizeof(integer))的解答非常容易。但你可以在线性时间O(n)内用一趟扫描做到吗？
• 要求算法的空间复杂度为O(n)。
• 你能进一步完善解法吗？要求在C++或任何其他语言中不使用任何内置函数（如 C++ 中的 __builtin_popcount）来执行此操作。

方法1:

从0到num直接计算1的个数, 计算方法用到了上面的 布赖恩·克尼根算法

class Solution {
public:
    int count_ones(int x){
        int count = 0;
        while(x > 0){
            x &= (x - 1);
            count++;
        }
        return count;
    }
    vector<int> countBits(int num) {
            vector<int> result(num + 1);
            for(int x=0; x <= num; x++){
                result[x] = count_ones(x);
            }
            return result;
    }
};

复杂度分析:

• 时间复杂度: O(k*num) , k 为int整型长度(32),
• 空间复杂度: O(1) , 除了返回的数组以外，空间复杂度为常数。

方法2: 动态规划 最高有效位

对于整数x, 存在一个最大整数y, 且y是2的整数幂, 令 z=y-x, 用 bits[x] 来表示x的’一比特数’, 则 bit[x] = bit[z] + 1 , 这里加的 1 是最高位的1.

x	1	0	1	1
y	1	0	0	0
z=x-y	0	0	1	1

正整数 y 是 2 的整数次幂，当且仅当 y&(y-1)=0

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
            vector<int> result(num + 1);
            int highbit = 0;
            for(int x=1; x <= num; x++){
                if((x & (x - 1)) == 0){
                    highbit = x;
                }
                result[x] = result[x - highbit] + 1;
            }
            return result;
    }
};

复杂度分析:

• 时间复杂度: O(num) , 只需要 O(1) 的时间计算
• 空间复杂度: O(1), 为常数

方法3: 动态规划 最低有效位

将x右移一位可得到 $\dfrac{x}{2}$ 的值,

x	1	0	1	1
x/2	0	1	0	1

反向考虑:

$$
bit[x] = bit[\dfrac{x}{2}] + bit[x]最低位
$$

据此, 合并奇偶情况:

$$
bit[x] = bit[\dfrac{x}{2}] + (x & 1)
$$

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
            vector<int> result(num + 1);
            int highbit = 0;
            for(int x=1; x <= num; x++){
                result[x] = result[x>>1] + (x & 1);
            }
            return result;
    }
};

方法4: 动态规划 最低设置位

定义正整数 x 的「最低设置位」为 x 的二进制表示中的最低的 1 所在位。

1	0	1	0

最低设置位是 2

令 y=x&(x-1) , 则y是去除最低设置位后的数, 则 bits[x]=bits[y]+1

x	1	0	1	0
x-1	1	0	0	1
x&(x-1)	1	0	0	0

class Solution {
public:
    vector<int> countBits(int num) {
            vector<int> result(num + 1);
            int highbit = 0;
            for(int x=1; x <= num; x++){
                result[x] = result[x&(x-1)] +1;
            }
            return result;
    }
};