形态学图像处理

从这里开始过渡，从输入输出都是图像，过渡到图像分析方法，输出以某种方法来描述图像的内容。

集合理论基础

令Z为整数集合，用于产生的数字图像的抽样处理可以看做是把xy平面分割成网格状，其中每个网格的中心坐标是来自笛卡尔积$Z^2$中的一对元素。在集合理论中，如果(x,y)是来自$Z^2$的整数,f是分配给每个不同坐标的对(x,y)的亮度值的映射，那么函数f(x,y)被成为数字图像。如果亮度值也为整数，那么这幅图像就变成了二维图像。
集合的基本操作:$\in$,$\notin$,$\cup$,$\cap$,+,-.除了这些基本操作，形态学操作还需要两个算子，他们特别针对元素均为像素坐标的集合

集合的反射$\hat{B}$
$$ \hat{B} = {w|w=-b,b\in B}$$
点z=($z_1$,$z_2$)集合的平移${(A)}_z$
$$ (A)_z = {c|c=a+z,a\in A}$$
二值图像、集合及逻辑算子
形态学理论把二值图像看成是前景(1值)像素的集合,集合的元素属于$Z^2$如果A和B都是二值图像，那么$C=A\cup B$也是二值图像
$$C(x,y)=\begin{cases}
1,\quad A(x,y)或B(x,y)为1,或者两者均为1\
0 \quad 其他
\end{cases}
$$
在MATLAB中使用逻辑表达式在二值图像上进行逻辑运算

集合运算	二值图像的MATLAb语句	名称
$A\cap B$	A & B	与
$A\cup B$	A $\rvert$ B	或
$A^c$	~B	非
$A-B$	A &~ B	差

腐蚀和膨胀

膨胀

膨胀是使图像中的目标”生长”或”变粗”的操作。程度由一种被称为结构元的形状来控制
A被B膨胀，表示为$A \oplus B$,作为集合操作
$$ A\oplus B={ z|\hat{B}_z\cap A\not= \emptyset}$$
约定: $A \oplus B$ 的第一个操作数是图像，第二个操作数是结构元，结构元通常比图像小的多。

工具箱函数imdilate(A, B)来执行膨胀

f = imread('1111.jpg');
B = [0 1 0; 1 1 1; 0 1 0];%自定义结构元
D = imdilate(f, B);
subplot(1,2,1),imshow(f);
title('原图')
subplot(1,2,2),imshow(D);
title('膨胀后的图')

腐蚀

腐蚀”收缩”或”细化”二值图像中的物体。像膨胀一样，收缩的方法和程度由结构元控制。
A被B腐蚀表示为$A\ominus B$,定义为:
$$ A\ominus B = {z| (B)_z\subseteq A} = {z| (B)_z\cap A^c = \emptyset}$$

工具箱函数imerode(A,B)来执腐蚀

f = imread('tig.jpg');
B = [0 1 0; 1 1 1; 0 1 0];%自定义结构元
R = imerode(f, B);
subplot(1,2,1),imshow(f);
title('原图')
subplot(1,2,2),imshow(R);
title('腐蚀后的图')